Творческий проект «Кино в науке: анимация радиальных колебаний мембраны в зукотембральных задачах музыкальной акустики»

Анимация разработана на основе решения волнового уравнения для круглой мембраны с заданными граничными и начальными условиями. Для круглой мембраны решение представлено в полярных координатах, а радиальные колебания- это особый класс краевых задач в математической физике, где смещение точек зависит только от радиальной координаты и времени.

Огибающая амплитудного спектра колебаний круглой мембраны под действием прямоугольного импульса представлена на рис. 1.

 

Рисунок 1.  Амплитудный спектр колебаний круглой мембраны под действием прямоугольного импульса

Интерес к дифференциальному уравнению Бесселя и его решениям Jv(x), называемым цилиндрическими или бесселевыми функциями, оформился в виде систематических исследований ещё в XVIII веке. Это было вызвано тем, что уравнение Бесселя естественным образом возникало при решении различных физических задач.

Немецкий астроном, геодезист и математик Ф.В. Бессель (1784–1846) систематически исследовал один тип цилиндрических функций- цилиндрические функции I рода. В связи с этим название функции Бесселя иногда относят лишь к этому типу цилиндрических функций. Им было получено новое интегральное представление, рекуррентные соотношения, доказано наличие бесконечного множества нулей уравнения J0(x)=0 .  Следует отметить, однако, что многие существенные результаты теории цилиндрических функций были получены ранее в работах Д. Бернулли,
Л. Эйлера, Ж. Лагранжа.

 

Рисунок 2. Функции Бесселя в задаче о круглой мембране