Межвузовский проект «Кино в науке: аудиовизуальный синтез тембра струнного музыкального звука»

Новизна и теоретическая значимость работы (совместно с учебно-методической лабораторией музыкально-компьютерных технологий РГПУ им. А.И. Герцена):

·        Предложен энергетический подход в исследовании физической модели тембра музыкального звука в формализме краевой задачи для волнового уравнения колебаий струны;

·        Показана дополнительность методов Фурье и Даламбера с динамической визуализацией колебаний струны с начальным точечным ударом (дельта-функцией);

·        Дана иллюстрация возможного равномерного распределения энергии по акустическим степеням свободы системы осцилляторов (или гармоник в аддититвном синтезе музыкального звука);

·        Представлена имитационная модель тембра струнного музыкального звука с использованием электронного генератора тона.

Решение задачи о колеблющейся струне, а точнее, математическое описание поведения струны после сообщения ей некоторой возмущающей силы, в XVIII в. породило дискуссию между учеными того времени, а полученное решение дало импульс для развития таких областей математики, как теория дифференциальных уравнений в частных производных, математический анализ и теория функций вещественного переменного, теория тригонометрических рядов Фурье и теория обобщенных функций. Интересно, что это, возможно, единственная задача, когда восприятие звука привело к важным математическим открытиям.

Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными, приводящий к стоячим волнам струны, не объясняя скорость волновых процессов в волновом уравнении. Рассмотрим частный случай, в рамках которого уравнение колебаний струны удается решить с физической интерпретацией, а именно задачу о колебаниях бесконечной струны методом Даламбера или методом бегущих волн. Дельта-возмущение струны (или точечный удар) возбуждает квазипрямоугольный волновой пакет (при достаточно большом числе гармоник), который распространяется вдоль оси струны со скоростью, зависящей от натяжения и плотности струны.

Для физической интерпретации решения проведем мысленный эксперимент. Пусть наблюдатель, находившийся в начальный момент времени в заданной точке, движется с постоянной скоростью в положительном направлении оси («находясь на импульсе» неизменной формы в начальный момент времени). В силу принципа относительности (эквивалентности инерциальных систем отсчета) и неподвижный наблюдатель увидит также неизменные импульсы, перемещающиеся вдоль оси с заданной скоростью и восполняемые «источником незатухающих колебаний» при начальном возбуждении струны.

Аналогичная картина наблюдается и в противоположном направлении. В случае конечной струны импульсы, отражаясь от концов струны меняют амплитуды на противоположные в соответствии с граничными условиями задачи и возвращаются в исходное положение за время половины периода основной гармоники. Далее импульсы «переворачиваются» и через половину периода основной моды струна возвращается в начальное состояние, затем процесс повторяется. Подчеркнем, что именно физику изучаемого явления для конечной струны в рамках выбранного математического формализма метода Фурье или Даламбера наглядно демонстрирует анимационная модель с кадрами, представленными на рис. 1.

Рисунок 1. Кадры анимации колебаний конечной струны

Заметим также, что гармоники струны можно рассматривать как акустические степени свободы струны как резонатора, для которых справедлив закон равномерного распределения энергии по степеням свободы, т.е. средняя энергия гармоник является инвариантом для начального дельта-импульса и мод резонатора <E(n)>=inv. (рис.2).

Рисунок 2. Инвариантность энергии в спектре колебаний струны при точечном ударе

Воспроизвести точечный удар на музыкальном инструменте, практически, невозможно, учитывая, что дельта-функция является асимптотикой гауссовых сигналов. Поэтому для аудиовизуального синтеза струнного музыкального звука с записью аудиофайла воспользуемся стандартным генератором тона онлайн (рис.3).

Рисунок 3. Интерфейс генератора тона для аудиовизуального синтеза тембра струнного музыкального звука (нота ми(6), рис.4)

Запись тона

Рисунок 4. Музыкальный строй гитары

 

Анимация струны

Публикации по материалам международных конференций:

1.     Khodanovich A. IT Solutions for Stochastic Mathematical and Simulation Modeling Tasks in Engineering Education. CAM-2025, Computer Assisted Mathematics: Proceedings of the International Conference / ed. by N. N. Vassiliev, S. N. Pozdniakov; org. by ETU "LETI", PDMI RAS. SPb: ANO "CTE" Center, 2025. 128 p. ISBN 978-5-91406-100-2.

2.     Irina Gorbunova and Alexander Khodanovich. Functional and Logical Aspects of the Study of Musical Creative Work: Media Education and Music Computer Technologies // Int’l Conference Proceedings STHSS-25, IWMBB-25, ICHSS-25 & WCTET-25 Aug. 28-29, 2025. Editors: Prof. Dr. L. M. Cardoso, Prof. Dr. BÜLENT TOPCUOĞLU, Prof. Dr. Nuno Domingues. Istanbul (Turkiye). Published by Pilares D'Elegância, Lda.
Pp. 8-11. ISBN- 978-989-9121-53-9.

3.     Irina B. Gorbunova, Alexander I. Khodanovich, and Gleb G. Rogozinsky. Music Computer Technologies in the System of Contemporary Education: Musical Programming // 55th PARIS International Conference on “Humanities, Social Sciences and Education” (PHSSE-25) April 29-May 1, 2025 Paris (France). Рр. 28- 31. 

https://doi.org/10.17758/URUAE25.UA0425413