Проект «Кино в науке: анимация стохастического осциллятора в нелинейной динамике»

Новизна и теоретическая значимость работы:

• исследован сценарий Фейгенбаума для одномерного отображения логистического типа;
• приведена динамическая визуализация хаотического аттрактора на фазовой плоскости;
• дана статистическая интерпретация дискретной нелинейной модели хаотических колебаний как стохастического осциллятора с классической плотностью вероятностей;
• создана анимация стохастического осциллятора в системе символьной математики Maple (имитационная модель опыта Капплера во вращательной броуновской динамике);
• разработан и исследован программный генератор псевдослучайных чисел (PRNG) на основе дискретных нелинейных отображений.

Актуальность изучения вопросов физики нелинейных явлений связана с тем, что идеи, методы и результаты физики открытых систем, в частности, нелинейной динамики, служат фундаментом педагогической и науч­ной деятельности специалистов разного профиля- инженеров, физиков и математиков, химиков и биологов, экономистов и социологов. Открытие хаотических движений в сравнительно простых детерминированных нелинейных ди­намических системах различной природы (физических, химических, биологических) без преувеличения можно считать одной из крупнейших научных сенсаций современности.

Еще недавно казалось, что все явления окружающего мира можно четко разделить на детерминированные и случайные. Представления о детерминированности поведения динамических систем опирались на теорему Коши о существовании и единственности ре­шений дифференциальных уравнений. Эта теорема, казалось бы, полностью исключала возможность случайных процессов. В классической физике случайность мыслилась как нечто привносимое извне: хаотические движения детерминированных систем рассматри­вались как результат случайных внешних воздействий.

Вероятностный характер законов классической статистической ме-ханики, где случайность была налицо, принято было списывать на очень большое число частиц и степеней свободы и на неполноту данных. Такая точка зрения со временем стала при­вычной и позволяла как-то примириться с этим противоречием, но, тем не менее, оставля­ла чувство неудовлетворенности. Поэтому неопровержимое установление возможности, хаотического, непредсказуемого поведения простых динамических систем решающим об­разом затрагивает наши фундаментальные мировоз­зренческие представления.

В работе А. Ольчака приводится компактная формула, аппроксимирующая постоянную тонкой структуры. (О возможной связи фундаментальных констант физики: постоянной тонкой структуры и постоянной Фейгенбаума. - Естественные и технические науки. - 2009.- № 2).

Величина постоянной тонкой структуры связывается с ключевой для динамики хаоса постоянной Фейгенбаума δ. Эта постоянная, в самых общих словах, характеризует скорость приближения нелинейных динамических систем к состоянию «динамического хаоса». На сегодняшний день расчетное значение постоянной Фейгенбаума составляет δ=4,669211660910299... Величина постоянной тонкой структуры весьма точно вычисляется как корень простого уравнения 1/α=137+δ/(1/α-δπ/2), и составляет α=1/137,035999559, что аппроксимирует современное экспериментальное значение.

Рисунок 1. Митчелл Фейгенбаум- основоположник прикладной математики и теории хаоса

В действительности нелинейные модели процессов, порождающие динамический хаос, дав­но изучаются в математике и физике. Это обычные итерационные процессы с обратной связью, в которых одна и та же операция выполняется снова и снова, когда результат одной итерации является начальным значением для следующей (рис.2). Но, при определенных значениях управляющего параметра и начальных условиях наблюдаются хаотические колебания со сложным аттрактором на фазовой плоскости (рис.3).

Рисунок 2. Иллюстрация итерационного отображения в нелинейной динамике

Рисунок 3. Хаотический аттрактор в одномерном итерационном отображении

Динамическая визуализация хаотического аттрактора позволяет  интерпретировать дискретную нелинейную модель как стохастический осциллятор с классической плотностью вероятностей. Подобное статистическое распределение встречается в опыте Капплера (1932 г.) с крутильным маятником, который можно рассматривать как реальную имитационную модель вращательного броуновского движения (рис.4).

Рисунок 4. Иллюстрация плотности вероятностей гармонического осциллятора и гистограмма данных

Рисунок 5 Кадры анимации стохастического осциллятора в системе символьной математики Maple

Анимация стохастического осциллятора в системе символьной математики Maple