Творческий проект «Кино в науке: методы динамической визуализации в вариационном исчислении геометрической оптики»

Многие физические задачи можно сформулировать как задачи оптимизации с вариационными принципами, решаемые методами математического программирования с динамической визуализацией моделей. Весьма убедительно в этом плане выглядит задача геометрической оптики о рефракции света в неоднородной среде.

Еще Герон Александрийский выводил закон отражения света из прин-ципа кратчайшего пути. Однако уже в случае преломления света этот прин-цип явно на­рушался. Поэтому Пьер Ферма предположил, что световой луч избирает не кратчай­ший путь, а путь наименьшего времени. Так был сфор-мулирован первый вариа­ционный принцип, оставшийся незыблемым и по сей день. Согласно принципа Ферма, свет распространяется между двумя точками  по такому пути, который тре­бует для прохождения наименьшего времени. Т.е. функционалом оптической вариационной задачи является время распространения света. Если для каждой точки среды ввести коэффициент преломления принцип Ферма сведется к требованию минимума функционала оптического пути: , т.е. является методологическим принципом вариационного исчисления в геометрической оптике.

Во многих практически важных случаях необходимо рассматривать несколько лучей, например, при расчете оптических систем. Чтобы охватить по­добные случаи, принцип Ферма можно сформулировать в более слабой форме, но применимой в более широкой области: реальный луч отличается от остальных кривых, соединяющих две заданные точки, тем, что соответст-вующая ему опти­ческая длина имеет стационарное значение, т. е. малое из-менение траектории (например, точка падения на зеркало) не приводит к из-менению оптической дли­ны. Эта формулировка вполне достаточна для прак-тических приложений, ибо для нахождения луча можно ограничиться срав-нением оптических длин для воображаемых путей, которые проходят беско-нечно близко от действительно­го.

Задачу о преломлении света в геометрической оптике можно сформулировать как задачу нелинейного программирования среде Maple. Аналогичным образом, в формализме нелинейного программирования можно восстановить контур луча в среде с линейно изменяющимся показателем преломления (например, в водном растворе глицерина) выделив физически малые слои с постоянным показателем преломления. В этом случае контур луча является цепной линией (рис.1).

Рис. 1. К рефракции света в неоднородной среде

Вариационное исчисление или исследование операций являются методологией решения задач оптимизации в физике или экономике в результате эволюции методов решения экстремальных задач математического анализа с которыми мы знакомимся в общих курсах физики и математики.

Рис.2 Фрагмент динамической визуализации вариационного принципа в геометрической оптике