Проект «Кино в науке: математическая анимация в учебных экстремальных задачах»

Вариационное исчисление и исследование операций, как методологии решения задач оптимизации появились в результате эволюции методов решения экстремальных задач математического анализа с которыми мы знакомимся в общих курсах физики и математики.

Постановка задачи оптимизации- это, прежде всего четкая формулировка целевой функции в исследовании операций (или функционала в вариационном исчислении) и установление системы ограничений. Целевая функция представляет собой критерий отбора среди всех возможных планов задачи одного оптимального. Как правило в роли ограничений выступают ресурсы системы. Таким образом, задачи исследования операций, или математического программирования формулируются, как многомерные экстремальные задачи.

При этом не оговаривается ни форма целевой функции, ни вид неравенств задающих ограничения. В общем случае, задачи относятся к нелинейному программированию. Наличие особенностей, связанных с нелинейностью, существенно усложняет решение задач математического программирования.  В отдельных случаях могут быть линейными как целевая функция, так и функции ограничения- это задачи линейного программирования, которые могут быть исследованы симплекс-методом, графическим методом или методом потенциалов.  

В рамках проекта предложим альтернативное решение учебной задачи из гидростатики; сформулируем экстремальную задачу (задачу на экстремум функции) и приведем иллюстрацию математической анимации решения.

В высоком сосуде проделано несколько отверстий, из которых вытекает вода. Найти положение отверстия h, при котором дальность вытекающей струи воды наибольшая, если уровень жидкости в сосуде H.

Заметим, что полученное решение отличается от известных иллюстраций в учебниках по физике.

 

Рисунок 1. Фрагмент анимации решения экстремальной задачи

Анимация струи

Знакомство с современными методами оптимизации в среде символьной математики продолжаем при рассмотрении учебной баллистической задачи, как задачи нелинейного программирования при нелинейном граничном условии. Достаточно в плоскости задать целевую функцию координат, например, радиус-вектор или потенциальную энергию и затем воспользоваться возможностями программирования алгоритмов исследования операций в математическом пакете Maple.